Рыгор Рыгоравіч Будзько нарадзіўся 4 красавіка 1933 года ў сям'і Рыгора Давідавіча і Кацярыны Паўлаўны ў вёсцы Арэпічы Жыцінскай гміны Брэсцкага павета Палескага ваяводства (цяпер Сцяпанкаўскага сельсавета Жабінкаўскага раёна Брэсцкай вобласці). Пасля яго нарадзіліся сястра Вольга і брат Глеб.

Рыгор пачынаў вучыцца яшчэ за польскім часам, потым была руская школа. Да Вялікай Айчыннай вайны паспеў закончыць тры класы, працягнуў вучобу пасля вызвалення Беларусі ў 1944 годзе. Пасля заканчэння Арэпіцкай школы паступіў на факультэт «Архітэктура» ў Львоўскі палітэхнічны інстытут, які скончыў у 1957 годзе. У гэтым жа годзе уладкаваўся на працу ў Гродзенскі філіял інстытута «Белдзяржпраект» (з 1959 г. – Гродзенская абласная праектная кантора «Аблпраект»).

Пераехаўшы ў 1961 годзе ў Брэст, Рыгор Будзько каля дваццаці гадоў адпрацаваў у інстытуце «Брэстграмадзянпраект», дзе з'яўляўся галоўным архітэктарам праектаў.

У 1960 гады пачала развівацца такая форма сучаснай забудовы горада, як архітэктурныя ансамблі. Адзін з першых у Брэсце архітэктурных ансамбляў сфарміраваўся на плошчы Леніна, якая стала адміністрацыйным і грамадскім цэнтрам горада. Усходняя частка плошчы (будынак аблсаўпрафа, шматкватэрныя жылыя дамы з гандлёвымі і грамадскімі ўстановамі ў першых паверхах) забудавана ў 1961–1963 гадах – архітэктары Р.Будзько, З.Леўчанка, Л.Маскалевіч, А.Сувораў. Рыгор Рыгоравіч удзельнічаў у праектаванні жылой забудовы па вул. Маскоўскай (1966), вул. Луннай, бульвары касманаўтаў, мікрараёна «Усход 3» (1978).

У 1962 годзе стварылася сям'я Рыгора і Раісы Будзько, у якой нарадзіліся дочкі Іна і Жанна.

З 1959 года Рыгор Рыгоравіч Будзько – член Саюза архітэктараў БССР, а з 1967 года па 1988 год ён з'яўляўся старшынёй Брэсцкага абласнога аддзялення СА БССР. У гэты час арганізаваў Дом архітэктараў – фактычна творчую лабараторыю, якая дала магчымасць перайсці ад муніцыпальных праектаў да свабоднага праектавання, выканала ў Брэсце ролю папярэдніка творчых майстэрняў, дзе сабраліся самыя таленавітыя дойліды, дзякуючы якім горад пачаў развівацца ў сучасных напрамках архітэктуры.

У 1979 годзе Будзько перайшоў на пасаду галоўнага архітэктара інстытута «Брэстсельбудпраект». Па яго праектах узведзены галоўны корпус Брэсцкага педагагічнага інстытута ім. А.С. Пушкіна (1981), жылыя дамы па вул. Маскоўскай (1966), ансамбль дамоў на Бульвары Касманаўтаў (1979), праект мікрараёна Усход 3 (1978, усё ў суаўтарстве). Складана знайсці раён у Брэсцкай вобласці, дзе б не ўзводзіліся будынкі, спраектаваныя архітэктарам Рыгорам Будзько: забудова цэнтральнай сядзібы пасёлкаў Мухавецкі (1969), Астрамечава, Белавежскі, Матыкалы Брэсцкага раёна; Дом праектных інстытутаў (1969) і Дом Саветаў (1974) у Пінску; праект і забудова цэнтральнай сядзібы калгасаў «Памяць Ільіча» Брэсцкага (1980) і «Белавежскі» Камянецкага раёнаў (1981, абодва ў сааўт.). Пасля выхаду на пенсію, Рыгор Рыгоравіч часта аказваў інстытуту «Брэстсельбудпраект» дапамогу праектамі жылых дамоў у вёсках Вярхі, Крыўляны, Грабаўцы, Пшанаі Жабінкаўскага раёна.

З маладых гадоў Рыгор Будзько захапляўся песнямі. Спачатку хадзіў на спевы ў клуб чыгуначнікаў, потым рэгулярна наведваў хор ветэранаў вайны і працы.
На працягу ўсяго творчага шляху архітэктар Будзько не забываў пра сваю малую радзіму. У г. Жабінка ім спраектаваны абнаўленне помніка воінам і партызанам (пліта, на якой выбіты імёны загінуўшых, і Вечны агонь), забудова мікрараёна насупраць бальніцы, сярэдняя школа № 1 (1971), гарадскі Дом культуры (1979). Па яго праектах пабудаваны школы ў вёсках Крыўляны і Хмелева Жабінкаўскага раёна.

Пісьменнік Расціслаў Бензярук прысвяціў Рыгору Будзько верш, у якім злучыў імёны горада Жабінка і слыннага земляка: «Тут шчыраваў калісь Рыгор Будзько: / для Жабінкі жадаў шчаслівай долі».

Плённая дзейнасць архітэктара высока ацэнена: ў 1970 годзе ён узнагароджаны «Сярэбраным медалём ВДНГ» і «Залатым медалём ВДНГ» у 1987, у 1971 годзе – медалём «За працоўную доблесць», у 1979-м і 1985-м гадах – Ганаровай граматай Вярхоўнага Савета БССР.

Пайшоў з жыцця Рыгор Рыгоравіч Будзько 29 чэрвеня 2017 года, пахаваны ў Брэсце.